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如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(6,0),(...

如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(6,0),(6,8).动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点N作NP⊥BC,交AC于P,连接MP.已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为多少;(用含x的代数式表示)
(2)试求△MPA面积的最大值,并求此时x的值;
(3)请你探索:当x为何值时,△MPA是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果.

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(1)P点的横坐标与N点的横坐标相同,求出CN的长即可得出P点的横坐标,然后通过求直线AC的函数解析式来得出P点的纵坐标,由此可求出P点的坐标; (2)可通过求△MPA的面积和x的函数关系式来得出△MPA的面积最大值及对应的x的值. △MPA中,MA=OA-OM,而MA边上的高就是P点的纵坐标,由此可根据三角形的面积计算公式求出S与x的函数关系式,进而根据函数的性质得出S的最大值和对应的x的值; (3)可分三种情况进行讨论: ①MP=AP时,延长NP交x轴于Q,则有PQ⊥OA,那么此时有AQ=BN=MA,由此可求出x的值. ②当MP=AM时,可根据MP、AM的不同表达式得出一个关于x的方程即可求出x的值. ③当MP=MA时,可在直角三角形PMQ中,根据勾股定理求出x的值. 综上所述可得出符合条件的x的值. 【解析】 (1)由题意可知C(0,8),又A(6,0), 所以直线AC解析式为:y=-x+8, 因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为6-x,代入直线AC中得y=, 所以P点坐标为(6-x,x); (2)设△MPA的面积为S,在△MPA中,MA=6-x,MA边上的高为x, 其中,0≤x<6, ∴S=(6-x)×x=(-x2+6x)=-(x-3)2+6, ∴S的最大值为6,此时x=3; (3)延长NP交x轴于Q,则有PQ⊥OA ①若MP=PA, ∵PQ⊥MA, ∴MQ=QA=x, ∴3x=6, ∴x=2; ②若MP=MA,则MQ=6-2x,PQ=x,PM=MA=6-x, 在Rt△PMQ中, ∵PM2=MQ2+PQ2, ∴(6-x)2=(6-2x)2+(x)2, ∴x=; ③若PA=AM, ∵PA=x,AM=6-x, ∴x=6-x, ∴x=, 综上所述,x=2,或x=,或x=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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