Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△CDM；
（2）四边形MENF是什么图形？请证明你的结论；
（3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由．

Answer

（1）已知四边形ABCD为等腰梯形，推出AB=CD，∠A=∠D，AM=DM故可证明三角形全等．
（2）由1证明三角形全等得出各边之间的关系推出四边形MENF是菱形．
（3）由梯形的性质可推出四边形MENF是正方形推出MN⊥BC且MN=BC．
证明：（1）∵ABCD为等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D．
∵M是AD中点，
∴AM=DM．
∴△ABM≌△DCM．

（2）四边形MENF是菱形（若考生回答是平行四边形且给出证明，则此问题只能得2分）
由△ABM≌△DCM，得MB=MC，
∵E、F、N是MB、MC、BC的中点，
∴ME=BM，MF=MC，NF=BM，NE=MC．
∴ME=MF=FN=NE．
∴四边形MENF是菱形．

（3）梯形的高等于底边BC的一半连接MN，
∵MENF是正方形，
∴∠BMC=90°．
∵MB=MC，N是中点，
∴MN⊥BC且MN=BC．