Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（Ⅰ）直接写出点E、F的坐标；
（Ⅱ）若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M、N的坐标，并求出周长的最小值．

Answer

（Ⅰ）△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，则CF=3-2=1，因而E、F的坐标就可以求出．
（Ⅱ）作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．
求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值．
（本小题10分）
【解析】
（Ⅰ）E（3，1）；F（1，2）．（2分）
（Ⅱ）如图，作点E关于x轴的对称点E′，
作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别
与x轴、y轴交于点M、N，连接FN、NM、ME，
此时四边形MNFE的周长最小．（4分）
∴E′（3，-1），F′（-1，2），
设直线E′F′的解析式为y=kx+b，
有
解这个方程组，得
∴直线E′F′的解析式为．
当y=0时，，
∴M点的坐标为（，0）．
当x=0时，，
∴N点的坐标为（0，）．（7分）
∵E与E′关于x轴对称，F与F′关于y轴对称，
∴NF=NF′，ME=ME′．F′B=4，E′B=3．
在Rt△BE′F′中，．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=5．
在Rt△BEF中，．
∴，
即四边形MNFE的周长最小值是5+．（10分）