Question

如图①，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）²+m交直线y=kx于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C（点A、E、F两两不重合）．
（Ⅰ）写出h与m之间的关系（用含k的代数式表示）；
（Ⅱ）当点A运动到使EF与x轴平行时（如图②），求的值；
（Ⅲ）当点A运动到使点F的位置最低时（如图③），求的值．

Answer

（Ⅰ）由于抛物线的顶点（h，m）在直线y=kx上，把顶点坐标代入解析式中即可得到h与m之间的关系；
（Ⅱ）当EF与x轴平行时，点E与点F关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质得到FC=CE，然后利用CA∥y轴怎么△ECA∽△EFO，最后利用相似三角形的性质即可得到的值；
（Ⅲ）当点F的位置处于最低时，其纵坐标h2+kh最小，而，当时，点F的位置最低，此时F（0，），然后解方程组得E的坐标（，），同时确定A的坐标（，），然后利用待定系数法可以确定直线EF的解析式，最后把代入直线EF的解析式中确定即点C的坐标，最后分别可以求出线段AC的长度，OF的长度解决问题．
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线的顶点（h，m）在直线y=kx上，
∴m=kh；

（Ⅱ）当EF与x轴平行时，点E与点F关于抛物线的对称轴对称，
∴FC=CE．
∵CA∥y轴，
∴△ECA∽△EFO．
∴；

（Ⅲ）当点F的位置处于最低时，其纵坐标h2+kh最小，（5分）
∵，
当时，点F的位置最低，此时F（0，）．（6分）
解方程组，
得E（，），A（，）．（7分）
设直线EF的解析式为y=px+q，
将点E（，），F（0，）的横纵坐标分别代入，
得．（8分）
解得∴直线EF的解析式为．（9分）
当时，y=-k2，
即点C的坐标为（，-k2），
∵点A（，），
∴，
而，
∴．（10分）