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已知:△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB,...

已知:△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.
(1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.

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(1)连接OE.欲证直线EF是⊙O的切线,只需证明EF⊥AC.利用等边三角形的三个内角都是60°、等腰三角形OBE以及三角形的内角和定理求得同位角∠BOE=∠A=60°,从而判定OE∥AC,所以由已知条件EF⊥AC判定OE⊥EF,即直线EF是⊙O的切线; (2)连接DF.设⊙O的半径是r.由等边三角形的三个内角都是60°、三条边都相等、以及在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半求得关于r的方程4-r=2(4r-4),解方程即可. (1)证明:连接OE. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°; 在△BOE中,OB=OE,∠B=60°, ∴∠B=∠OEB=∠BOE=60°, ∴∠BOE=∠A=60°, ∴OE∥AC(同位角相等,两直线平行); ∵EF⊥AC, ∴OE⊥EF,即直线EF是⊙O的切线; (2)【解析】 连接DF. ∵DF与⊙O相切, ∴∠ADF=90°. 设⊙O的半径是r,则EB=r,EC=4-r,AD=4-2r. 在Rt△ADF中,∠A=60°, ∴AF=2AD=8-4r. ∴FC=4r-4; 在Rt△CEF中,∵∠C=60°,∴EC=2FC, ∴4-r=2(4r-4), 解得,r=; ∴⊙O的半径是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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