Question

已知：如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A（0，6），D（4，6），且AB=．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）点C是不是也在（2）中的抛物线上，若在请证明，若不在请说明理由；
（4）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据勾股定理求出BO即可；
（2）把A、B、D的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）求出C的坐标，把C的坐标代入抛物线的解析式看左、右两边是否相等即可；
（4）过点D作DE⊥X轴于点E，根据勾股定理求出DE，求出BC，根据梯形面积公式求出梯形的面积，求出△PBC的面积，设点P的坐标为（x，y），则△PBC的BC边上的高为|y|，求出P的纵坐标，代入抛物线求出P的横坐标即可．
【解析】
（1）在Rt△ABO中，AB=2，AO=6，
∴BO==2，
∵点B在x轴的负半轴上，
∴B（-2，0），
答：点B的坐标是（-2，0）．

（2）设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
代入得：
解这个方程组得：，
∴y=-x2+2x+6．
答：经过A、B、D三点的抛物线的解析式是y=-x2+2x+6．

（3）由题意，得点C的坐标为（6，0），
∵=0，
∴点C在抛物线y=-x2+2x+6上．

（4）∵A（0，6），D（4，6），
∴AD=4，
过点D作DE⊥X轴于点E，则四边形DEOA是矩形，有DE=OA=6，AD=OE=4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴CD=AB=2，
由勾股定理得：CE===2，
∴OC=2+4=6，
∴C（6，0），
∵B（-2，0），
∴BC=8，
∴梯形ABCD的面积是×（4+8）×6=36，
∵，
∴S△PBC=18，
设点P的坐标为（x，y），则△PBC的BC边上的高为|y|，
∴×8×|y|=18，
∴y=±，
∴P的坐标是P1（x，），P2（x，-），
代入抛物线得：-x2+2x+6=-，
∴x1=-3，x2=7，
点P1的坐标为（-3，-），（7，-），
同理可求得：点P2的坐标为（2+，），（2-，）．
答：点P的坐标是（-3，-），（7，-），（2+，），（2-，）．