Question

如图，AB是半圆O的直径，C、D、E三点在半圆上，H、K是直径AB上的点，若∠AHC=∠DHB，∠DKA=∠EKB，已知弧AC为30°，弧BE为70°，则∠HDK=（ ）

A．30°
B．40°
C．70°
D．80°

Answer

如果将半圆O补全，得圆O．过点D作DF⊥AB于P，交⊙O于F，连接HF、FK．首先由垂径定理，可得DP=FP，则AB是DF的垂直平分线，由线段的垂直平分线的性质得出HD=HF，KD=KF，再由等腰三角形的性质可得∠HDF=∠HFD，∠KDF=∠KFD．然后根据平角的定义证明C、H、F三点共线，E、K、F三点共线．从而∠HDK=∠CFE，最后由圆周角定理求出∠HDK的度数．
【解析】
将半圆O补全，得圆O．过点D作DF⊥AB于P，交⊙O于F，连接HF、FK．
∵DF⊥AB于P，AB是圆O的直径，
∴DP=FP，
∴AB是DF的垂直平分线，
∴HD=HF，KD=KF，
∴∠HDF=∠HFD，∠KDF=∠KFD．
∵HD=HF，DP=FP，
∴∠FHB=∠DHB，
∵∠AHC=∠DHB，
∴∠FHB=∠AHC，
∴∠AHC+∠AHF=∠FHB+∠AHF=180°，
∴C、H、F三点共线．
同理，E、K、F三点共线．
∴∠HDK=∠HDF+∠KDF=∠HFD+∠KFD=∠CFE，
又∵弧AC为30°，弧BE为70°，
∴弧CE为180°-30°-70°=80°，
∴∠CFE=×80°=40°，
∴∠HDK=40°．
故选B．