Question

如图，开口向下的抛物线y=ax²-8ax+12a与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，
（1）求OC的长及的值；
（2）设直线BC与y轴交于P点，点C是BP的中点时，求直线BP和抛物线的解析式．

Answer

（1）根据抛物线的解析式即可求出A、B的坐标，也就得出了OA、OB的长，根据题中给出的相似三角形得出的比例线段可求出OC的长．已知了OA、OB的长即可得出三角形OBC和三角形OCA的面积比，而根据面积比等于相似比的平方即可得出BC与AC的比例关系．
（2）当C是BP中点是，OC就是直角三角形OBP的斜边的中线，因此OC=BC，三角形OCB是等腰三角形，可过C作x轴的垂线通过构建直角三角形求出C点坐标，进而可得出直线BP的解析式，将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
【解析】

（1）由题设知a＜0，
且方程ax2-8ax+12a=0有两二根，
两边同时除以a得，x2-8x+12=0
原式可化为（x-2）（x-6）=0
x1=2，x2=6
于是OA=2，OB=6
∵△OCA∽△OBC
∴OC2=OA•OB=12即OC=2
而===3，故

（2）因为C是BP的中点
∴OC=BC从而C点的横坐标为3
又∴
设直线BP的解析式为y=kx+b，
因其过点B（6，0），，
则有
∴
∴
又点在抛物线上
∴
∴
∴抛物线解析式为：．