Question

如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．
（1）求证：PA•PE=PC•PF；
（2）求证：；
（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．

Answer

（1）连接AB，根据弦切角定理和圆周角定理的推论得到∠CAB=∠F，∠CAB=∠E，则∠F=∠E，根据内错角相等，得到AF∥CE，再根据平行线分线段成比例定理进行证明；
（2）利用（1）的比例式，两边同平方，再根据切割线定理进行等量代换即可；
（3）要求两个三角形的面积比，根据（1）知：两个三角形相似．所以只需求得它们的一组对应边的比，根据所给的线段的比值，结合勾股定理的逆定理发现Rt△PCE，连接AE，AE即是直径．又根据平行线的性质得到∠PAF=90°，则AF是圆的直径．根据勾股定理得到x与y的比值，从而得到三角形的面积比．
（1）证明：连接AB，
∵CA切⊙O'于A，
∴∠CAB=∠F．
∵∠CAB=∠E，
∴∠E=∠F．
∴AF∥CE．
∴．
∴PA•PE=PC•PF．

（2）证明：∵，
∴=．
∴．
再根据切割线定理，得PA2=PB•PF，
∴．

（3）【解析】
连接AE，由（1）知△PEC∽△PFA，
而PC：CE：EP=3：4：5，
∴PA：FA：PF=3：4：5．
设PC=3x，CE=4x，EP=5x，PA=3y，FA=4y，PF=5y，
∴EP2=PC2+CE2，PF2=PA2+FA2．
∴∠C=∠CAF=90°．
∴AE为⊙O的直径，AF为⊙O'的直径．
∵⊙O与⊙O'等圆，
∴AE=AF=4y．
∵AC2+CE2=AE2
∴（3x+3y）2+（4x）2=（4y）2即25x2+18xy-7y2=0，
∴（25x-7y）（x+y）=0，
∴．
∴．