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如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6cm,AB=8cm...

如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6cm,AB=8cm,BC=14cm.动点P、Q都从点C出发,点P沿C→B方向做匀速运动,点Q沿C→D→A方向做匀速运动,当P、Q其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.
(1)求CD的长;
(2)若点P以1cm/s速度运动,点Q以2manfen5.com 满分网cm/s的速度运动,连接BQ、PQ,设△BQP面积为S(cm2),点P、Q运动的时间为t(s),求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)若点P的速度仍是1cm/s,点Q的速度为acm/s,要使在运动过程中出现PQ∥DC,请你直接写出a的取值范围.

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(1)过D点作DH⊥BC,垂足为点H,则在Rt△DCH中,由DH、CH的长度,运用勾股定理即可求出CD的长; (2)由于点P在线段CB上运动,而点Q沿C→D→A方向做匀速运动,所以分两种情况讨论:①点Q在CD上;②点Q在DA上.针对每一种情况,都可以过Q点作QG⊥BC于G.由于点P、Q运动的时间为t(s),可用含t的代数式分别表示BP、QG的长度,然后根据三角形的面积公式即可求出S与t的函数关系式,并写出t的取值范围; (3)令DQ=CP,Q点在AD边上,求出a的取值范围. 【解析】 (1)过D点作DH⊥BC,垂足为点H,则有DH=AB=8cm,BH=AD=6cm. ∴CH=BC-BH=14-6=8cm. 在Rt△DCH中,∠DHC=90°, ∴CD==8cm. (2)当点P、Q运动的时间为t(s),则PC=t. ①当点Q在CD上时,过Q点作QG⊥BC,垂足为点G,则QC=2•t. 又∵DH=HC,DH⊥BC, ∴∠C=45°. ∴在Rt△QCG中,QG=QC•sin∠C=2t×sin45°=2t. 又∵BP=BC-PC=14-t, ∴S△BPQ=BP×QG=(14-t)×2t=14t-t2. 当Q运动到D点时所需要的时间t===4. ∴S=14t-t2(0<t≤4). ②当点Q在DA上时,过Q点作QG⊥BC,垂足为点G, 则:QG=AB=8cm,BP=BC-PC=14-t, ∴S△BPQ=BP×QG=(14-t)×8=56-4t. 当Q运动到A点时所需要的时间t===4+. ∴S=56-4t(4<t≤4+). 综合上述:所求的函数关系式是: S=14t-t2(0<t≤4), S=56-4t(4<t≤4+); (3)要使运动过程中出现PQ∥DC, ∵AD∥BC,∴CPQD是平行四边形, ∴CP=DQ, 1•t=at-8, ∴t=①, 又∵Q点在AD边上, ∴<t≤②, 把①代入②,解得a≥1+. 故a的取值范围是a≥1+.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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