Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

Answer

（1）要证梯形ABCD是等腰梯形，只需证△AMB≌△DMC．
（2）由△BMP∽△CQP，可得到BP与CQ的关系，从而转化成y与x的函数关系式．
（3）先利用二次函数求最值，求出y取最小值时x的值和y的最小值，从而确定P、Q的位置，判断出△PQC的形状．
（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．（1分）
∵M是AD中点，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．（2分）
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）【解析】
在等边△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，
∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．（4分）
∴△BMP∽△CQP．
∴．（5分）
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y．（6分）
∴．
∴y=x2-x+4．（7分）

（3）【解析】
△PQC为直角三角形，
理由是：
∵y=（x-2）2+3，
∴当y取最小值时，x=PC=2．（8分）
∴P是BC的中点，MP⊥BC而∠MPQ=60°．
∴∠CPQ=30°．
∴∠PQC=90°．
∴△PQC为直角三角形．（9分）