Question

如图，已知线段a及∠O．
（1）只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠O，∠C=2∠B（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在△ABC中作BC的中垂线分别交AB、BC于点E、F，如果∠B=30°，求四边形AEFC与△ABC的面积之比．

Answer

（1）先作一个角等于已知角，即∠MBN=∠O，在边BN上截取BC=a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠PCB=2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求；
（2）由∠B=30°，可得∠C=60°，根据三角函数可求得AB的长，则△ABC∽△FBE，从而得出=，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案即可．
【解析】
（1）

（2）如图，
∵∠B=30°，∴∠C=60°，∠A=90°，
∴△ABC∽△FBE，cos30°=，
∵BC=a，
∴AB=a，
∴==，
∴S△BEF：S△ABC=1：3，
∴四边形AEFC与△ABC的面积之比为：2：1（4分）