Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25，点D为AB边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．设DE=x，以DE为折线将△ADE翻折（使△ADE落在四边形DBCE所在的平面内），所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y．
（1）用x表示△ADE的面积；
（2）求出0＜x≤5时y与x的函数关系式；
（3）求出5＜x＜10时y与x的函数关系式；
（4）当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer

（1）由于DE∥BC，可得出三角形ADE和ABC相似，那么可根据面积比等于相似比的平方用三角形ABC的面积表示出三角形ADE的面积．
（2）由于DE在三角形ABC的中位线上方时，重合部分的面积就是三角形ADE的面积，而DE在三角形ABC中位线下方时，重合部分就变成了梯形，因此要先看0＜x≤5时，DE的位置，根据BC的长可得出三角形的中位线是5，因此自变量这个范围的取值说明了A′的落点应该在三角形ABC之内，因此y就是（1）中求出的三角形ADE的面积．
（3）根据（2）可知5＜x＜10时，A′的落点在三角形ABC外面，可连接AA1，交DE于H，交BC于F，那么AH就是三角形ADE的高，A′F就是三角形A′DE的高，A′F就是三角形A′MN的高，那么可先求出三角形A′MN的面积，然后用三角形ADE的面积减去三角形A′MN的面积就可得出重合部分的面积．求三角形A′MN的面积时，可参照（1）的方法进行求解．
（4）根据（2）（3）两个不同自变量取值范围的函数关系式，分别得出各自的函数最大值以及对应的自变量的值，然后找出最大的y的值即可．
【解析】
（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即S△ADE=x2；

（2）∵BC=10，
∴BC边所对的三角形的中位线长为5，
∴当0＜x≤5时，y=S△ADE=x2；

（3）5＜x＜10时，点A′落在三角形的外部，其重叠部分为梯形，
∵S△A′DE=S△ADE=x2，
∴DE边上的高AH=A'H=x，
由已知求得AF=5，
∴A′F=AA′-AF=x-5，
由△A′MN∽△A′DE知=（）2，S△A′MN=（x-5）2．
∴y=x2-（x-5）2=-x2+10x-25．

（4）在函数y=x2中，
∵0＜x≤5，
∴当x=5时y最大为：，
在函数y=-x2+10x-25中，
当x=-=时y最大为：，
∵＜，
∴当x=时，y最大为：．