Question

如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A（4，0），顶点的纵坐标是-1，抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线y=-2x-1与抛物线交于一点B（-2，m），且与y轴、抛物线的对称轴分别交于点D、E．
（1）求m的值与抛物线的解析式．
（2）试判断△BCE的形状并说明理由．
（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）根据直线上点的性质将B点代入直线解析式得出m的值，即可得出二次函数顶点坐标，利用顶点式求出即可；
（2）首先求出E点坐标，再求出CG=3，BG=4，以及BC的长，即可得出△BCE的形状；
（3）作EH⊥y轴于H，可证明△DHE≌△DKB，求出直线CD的解析式，再与二次函数解析式联立求出交点坐标即可．
【解析】
（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上，
∴m=-2×（-2）-1=3，
由对称性知抛物线的顶点坐标为（2，-1），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2-1，
将点O（0，0）代入解析式得：，
∴抛物线的解析式为：；

（2）△BCE是等腰三角形，
抛物线的对称轴是x=2，
∴直线y=-2x-1与直线x=2的交点坐标是E（2，-5），
∴CE=5，
如图，作BG⊥直线x=2于点G，则CG=3，BG=4，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC=，
∴BC=CE，△BCE是等腰三角形．

（3）存在，
作EH⊥y轴于H，
∵∠BKD=∠DHE，
∠BDK=∠HDE，
BK=HE=2，
∴△DHE≌△DKB，
∴DB=DE，又CB=CE，
∴CD是线段BE的垂直平分线，
由PB=PE，∴点P在直线CD上，
∴符合条件的点P是直线CD与抛物线的交点
设直线CD的解析式为y=kx+b，
将点D（0，-1），C（2，0）分别代入得：
，
解得：，b=-1，
∴直线CD的解析式为；
解方程组：，
得：，
∴符合条件的点P的坐标为（3+，）或（3-，）．