Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=80°，E是腰CD上一点，连接BE、AC、AE，若∠ACB=60°，∠EBC=50°，求∠EAC的度数．

Answer

连接BD交AC于F，连EF．可证△BCF，△ADF均为正三角形．可证CB=CE．E、F、B在以C为圆心，CE为半径的圆上，从而可证∠EFD=∠EDF=40°，因为EF=ED，于是易证△ADE≌△AFE，所以∠CAE=∠DAE=∠DAC=30°．
【解析】
连接BD交AC于F，连EF．
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，∠DCB=∠ABC=80°，
∵∠ACB=60°，
∴△BCF，△ADF均为正三角形，∠ACD=∠DCB-∠ACB=80°-60°=20°，
∵∠BEC=180°-∠CBE-∠DCB=180°-50°-80°=50°=∠CBE，
∴CB=CE=CF，
∴E、F、B在以C为圆心，CE为半径的圆上，
在⊙C上任取点M，
∵∠DCB=80°，
∴∠M=∠BCD=40°
∴∠DFE=∠M=40°（圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角），
∵∠CDB=180°-∠DBC-∠DCB=180°-60°-80°=40°，
∴∠EFD=∠EDF=40°，
∴EF=ED，
∵AD=AF，
∴△ADE≌△AFE（SSS），
∴∠CAE=∠DAE=∠DAC=30°．