Question

如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P、Q从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．动点P、Q运动时间为t（单位：秒）．
（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形，请写出推理过程；
（2）当t=3秒时，求△PQF的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．

Answer

（1）可通过平行四边形的判定，令PA=BQ，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根据平行线段成比例，可以得出AF，进而求出PF的值，这样就可以求出△PQF的面积；
（3）分三种情况进行讨论，让△PQF的三边两两相等，求出t的值．
【解析】
（1）设OP=2t，BQ=t，PA=13-2t，
要使四边形PABQ为平行四边形，则13-2t=t，
∴．

（2）当t=3时，OP=6，CQ=11-3=8，BQ=3．
∵，
∴=．
∵BC∥DE∥PA，
∴====，
∴AF=6，
∴F（19，0）
∴．

（3）①QP=QF，作QG⊥x轴于G，则
11-t-2t=2t+13-（11-t），
∴；
②PQ=FP，
∴，
∴；
③FQ=FP，
，
∴t=1．
综上，当时，△PQF是等腰三角形．