Question

如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC=180°；
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN=AC；
④∠BAC=2∠BPC．
其中正确的是（ ）

A．只有①②③
B．只有①③④
C．只有②③④
D．只有①③

Answer

过点P分别作AB、BC、AC的垂线段，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；
根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；
根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；
利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确．
【解析】
如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，
①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故本小题正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
很明显∠MPN≠∠APC，
∴∠ABC+∠APC=180°错误，
故本小题错误；
③在Rt△APM与Rt△APD中，，
∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），
∴AD=AM，
同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，
∴CD=CN，
∴AM+CN=AD+CD=AC，
故本小题正确；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠PCN=∠ACF=∠BPC+∠ABC，
∴∠BAC=2∠BPC，
故本小题正确．
综上所述，①③④正确．
故选B．