Question

某农资公司以进价每千克30元的价格购进一批新型优质种子，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，低于每千克30元；通过市场调查发现：单价为每千克70元时，日均销售60千克，单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售中每天还需支付其它费用500元（不足一天按一天计算）．设单价为每千克x元，日均获得利润y元．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）若某日的利润为1500元，请说明此时的销售单价是每千克多少元？
（3）根据（1）中函数在如图中画出函数的大致图象，并分析说明如何定价才能使日均利润最大？最大利润是多少？

Answer

（1）根据题意可得y=（x-30）[60+2（70-x）]-500，整理即可求得y与x的函数关系式，由销售单价不得高于每千克70元，低于每千克30元，即可得及自变量x的取值范围；
（2）由某日的利润为1500元，即可得方程：-2x2+260x-6500=1500，解此一元二次方程即可求得此时的销售单价是每千克多少元；
（3）由二次函数的最值的求解方法，配方，可得y=-2（x-65）2+1950，则可求得当单价为65元时，日均获得最大利润，最大利润为1950元．
【解析】
（1）y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x2+260x-6500（30≤x≤70）；

（2）依题意：-2x2+260x-6500=1500，
解得x=50；x=80（舍去）；
∴此时的销售单价是每千克50元；

（3）y=-2x2+260x-6500=-2（x-65）2+1950，
即当单价为65元时，日均获得最大利润，最大利润为1950元．