Question

已知：二次函数y=x²-2（m-1）x+m²-2m-3，其中m为实数．
（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁、x₂的倒数和为，求这个二次函数的解析式．

Answer

判断二次函数y=x2-2（m-1）x+m2-2m-3与x轴的交点情况，需要把问题转化为求方程x2-2（m-1）x+m2-2m-3=0的判别式的符号．而已知二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），相当于已知此方程两根为x1，x2．可运用根与系数的关系解题，所求m的值不受限制，结果有两个．
【解析】
（1）∵△=b2-4ac=[-2（m-1）]2-4（m2-2m-3）=4m2-8m+4-4m2+8m+12=16＞0，
∴不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；

（2）∵x1+x2=2（m-1），x1x2=m2-2m-3，
=，
即=，=，
解得m=0或5，
二次函数解析式为：y=x2+2x-3或y=x2-8x+12．