Question

已知：矩形OABC中，A（6，0），B（6，4），F为AB边的中点，直线EF交边BC于E，且sin∠BEF=，P为线段EF上一动点，PM⊥OA于M，PN⊥OC于N．
（1）求直线EF的函数解析式并注明自变量取值范围；
（2）求矩形ONPM的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）矩形ONPM、矩形OABC有可能相似吗？若相似，求出此时点P的坐标；若不相似，请简要说明理由．

Answer

（1）根据A（6，0），B（6，4）两点的坐标，进而可以得出F点的坐标，再利用sin∠BEF=，即可得出EF的长，进而得出BE的长，即可得出E点坐标，进而求出直线EF的函数解析式；
（2）设矩形ONPM的面积为S，表示出OM，NO，再利用二次函数最值求出即可；
（3）利用矩形ONPM、矩形OABC相似时，对应边比值相等求出即可．
【解析】
（1）∵F为AB中点，AB=4，
∴AF=2，BF=2，F（6，2），
在Rt△BEF中，EF===2，
∴BE=，
∴CE=6-4=2，
∴E（2，4），
设直线EF的函数解析式为y=kx+b，
把E（2，4）、F（6，2）分别代入
解得：，
∴直线EF的函数解析式为（2≤x≤6）．

（2）设矩形ONPM的面积为S，
∵点P在直线上，
∴OM=x，ON=，
∴S==，
∴矩形ONPM的面积S的最大值为，
此时，x=5，点P的坐标为（5，）．

（3）当矩形ONPM、矩形OABC相似时，
有或，
∴或，
∴或，且满足2≤x≤6，
此时，点P的坐标为或．