Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
（3）设AD=2，AE=1，求⊙O直径的长．

Answer

（1）由切线长定理，只需证明CB为⊙O的切线，再由已知的OB与AC切于点D，即可得出证明；
（2）根据已知及等角的余角相等不难求得结论．
（3）易得：△ADE∽△ABD，进而可得=；代入数据计算可得BE=3；即⊙O直径的长为3．
（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴OB⊥BC．（1分）
∵OB是⊙O的半径，
∴CB为⊙O的切线．（2分）
又∵CD切⊙O于点D，
∴BC=CD．（3分）

（2）证明：∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°．
∴∠ADE+∠CDB=90°．（4分）
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．（5分）
由（1）得BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD．
∴∠ADE=∠ABD．（6分）

（3）【解析】
由（2）得，∠ADE=∠ABD，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD．（7分）
∴=．（8分）
∴=．
∴BE=3．（9分）
∴所求⊙O的直径长为3．（10分）