Question

如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S_△ABP=S_△ABO．

Answer

（1）根据题意，过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E；根据相似三角形的性质，可得BE、OE的值，进而可得B点的坐标；
（2）先设抛物线为y=ax2+bx+c，将ABC的坐标代入可得三元一次方程组，解即可得abc的值，即可得抛物线的解析式；
（3）根据题意设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，易得AB∥x轴；分析可得点P的纵坐标只能是0，或4；分情况代入数据可得答案．
【解析】
（1）过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，
过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，则AF=2，OF=1．
∵OA⊥OB，
∴∠AOF+∠BOE=90度．
又∵∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOF=∠OBE，
∴Rt△AFO∽Rt△OEB，
∴，
∴BE=2，OE=4，
∴B（4，2）．（2分）

（2）设过点A（-1，2），B（4，2），O（0，0）的抛物线为y=ax2+bx+c．
∴
解之，得，
∴所求抛物线的表达式为y=x2-x．（5分）

（3）由题意，知AB∥x轴．
设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，则S△ABP=AB•d=AB•AF=5．
∴d=2．
∴点P的纵坐标只能是0，或4．（7分）
令y=0，得y=x2-x=0．
解之，得x=0，或x=3．
∴符合条件的点P1（0，0），P2（3，0）．
令y=4，得x2-x=4．
解之，得．
∴符合条件的点，．
∴综上，符合题意的点有四个：
P1（0，0），P2（3，0），，．（10分）