Question

解方程|x-1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边，若x对应点在1的右边，由图可以看出x=2；同理，若x对应点在-2的左边，可得x=-3，故原方程的解是x=2或x=-3．

参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|=4的解为______．
（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9；
（3）若|x-3|+|x+4|≥a对任意的x都成立，求a的取值范围．

Answer

（1）根据已知条件可以得到绝对值方程，可以转化为数轴上，到某个点的距离的问题，即可求解；
（2）不等式|x-3|+|x+4|≥9表示到3与-4两点距离的和，大于或等于9个单位长度的点所表示的数；
（3）|x-3|+|x+4|≤a对任意的x都成立，即求到3与-4两点距离的和最小的数值．
【解析】
（1）方程|x+3|=4的解就是在数轴上到-3这一点，距离是4个单位长度的点所表示的数，是1和-7．
故解是1和-7；

（2）由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与3和-4的距离之和为大于或等于9的点对应的x的值．
在数轴上，即可求得：x≥4或x≤-5．

（3）|x-3|+|x+4|即表示x的点到数轴上与3和-4的距离之和，
当表示对应x的点在数轴上3与-4之间时，距离的和最小，是7．
故a≤7．