Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，AM=AN，MN∥AC．
（1）求证：MN=AC；
（2）如果把条件“AM=AN”改为“AM⊥AN”，其它条件不变，那么MN=AC不一定成立．如果再改变一个条件，就能使MN=AC成立．请你写出改变的条件并说明理由．

Answer

（1）要证MN=AC，只需证四边形ACMN为▱，根据定义两组对边分别平行的四边形时平行四边形，而MN∥AC为已知，需证AN∥MC，可利用内错角相等，两直线平行来求．
（2）∵AM⊥AN，且MN∥AC，∴四边形ACMN要为▱，还少一组平行，若把M看做时RT△ABC斜边高的垂足，则可证明CM∥AN，即可利用平行四边形的定义证明．
证明：（1）【方法一】如图，连接CM．
在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，
∴CM=AM．
∴∠MAC=∠MCA．
∵AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM．
∵MN∥AC，
∴∠CAM=∠AMN．
∴∠ACM=∠ANM．
∴∠CMA=∠MAN．
∴AN∥CM．
∴四边形ACMN是平行四边形．
∴MN=AC．
【方法二】如图，连接CM，
证△ACM≌△MNA．
∴MN=AC．
（2）把“M是AB的中点”改为“过C点作AB的垂线，垂足为M点”．
理由是：易知CM∥AN，又MN∥AC，有四边形ACMN是平行四边形．
（注：改“Rt△ABC”为“等腰Rt△ABC”，酌情给分）