Question

如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是边AB上的动点（M不与A，B重合），MN∥BC交AC于点N，△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AM=x．
（1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；
（2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；
（3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？

Answer

（1）因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC，所以根据相似三角形的性质即可求得MN的值与MN边上的高的值，即可求得面积；
（2）根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；
（3）分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，易见y=x2．（8分）
②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．
【解析】
（1）S△AMN=x2（3）；

（2）如图2，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，（4分）
又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，（5）
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM（6分）
∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．（7分）

（3）（i）以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，易见y=x2（8分）
②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC，
∴，
∴
∴
∴y=
（ii）∵当0＜x≤2时，y=x2
∴易知y最大=（11分）
又∵当2＜x＜4时，y=x2+6x-6=（x-）2+2．
∴当时（符合2＜x＜4），y最大=2，（12分）
综上所述，当时，重叠部分的面积最大，其值为2．（13分）