Question

已知一元二次方程x²-4x+3=0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？
（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标．

Answer

（1）求出方程的解，得到B、A的坐标，代入抛物线得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出C的坐标，根据B、C的坐标求出即可；
（3）设直线BC交PE于F，P点坐标为（a，0），则E点坐标为（a，-a2-2a+3），根据三角形的面积求出F的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出直线BC，把F的坐标代入求出即可．
【解析】
（1）∵x2-4x+3=0的两个根为  x1=1，x2=3，
∴A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（0，3），
又∵抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，3）两点，
∴，
∴抛物线的解析式为  y=-x2-2x+3，
答：抛物线的解析式是 y=-x2-2x+3．

（2）作直线BC，
由（1）得，y=-x2-2x+3，
∵抛物线y=-x2-2x+3与x轴的另一个交点为C，令-x2-2x+3=0，
解得：x1=1，x2=-3，
∴C点的坐标为（-3，0），
由图可知：当-3＜x＜0时，抛物线的图象在直线BC的上方，
答：当-3＜x＜0时，抛物线的图象在直线BC的上方．

（3）设直线BC交PE于F，P点坐标为（a，0），则E点坐标为（a，-a2-2a+3），
∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，
∴F是线段PE的中点（根据等底等高的三角形的面积相等），
即F点的坐标是（a，），
∵直线BC过点B（0.3）和C（-3，0），
设直线BC的解析式是y=kx+b，代入得：，
∴
∴直线BC的解析式为y=x+3，
∵点F在直线BC上，
∴点F的坐标满足直线BC的解析式，
即=a+3
解得  a1=-1，a2=-3（此时P点与点C重合，舍去），
∴P点的坐标是（-1，0），
答：点P的坐标是（-1，0）．