Question

如图所示，直线y=x+1与y轴交于点A₁，以OA₁为边作正方形OA₁B₁C₁，然后延长C₁B₁与直线y=x+1交于点A₂，得到第一个梯形A₁OC₁A₂；再以C₁A₂为边作正方形C₁A₂B₂C₂，同样延长C₂B₂与直线y=x+1交于点A₃得到第二个梯形A₂C₁C₂A₃；再以C₂A₃为边作正方形C₂A₃B₃C₃，延长C₃B₃，得到第三个梯形；…则第2个梯形A₂C₁C₂A₃的面积是    ；第n（n是正整数）个梯形的面积是    （用含n的式子表示）．

Answer

此题中首先要求出A1、A2、A3…的横坐标和纵坐标，然后根据它们的特点来得到A点坐标的一般化规律，进而根据规律来求得An的坐标．再依次表示出梯形A1OC1A2；第2个梯形A2C1C2A3；第3个梯形的面积；第4个梯形的面积；找到规律进而求出第n（n是正整数）个梯形的面积．
【解析】
由直线y=x+1知：A1（0，1），即OA1=A1B1=1，
∴A2的坐标为（1，2）或（21-1，22-1）；
∵A2的坐标为：（1，2），即A2C1=2，
∴A3的坐标为：（1+2，4），即（3，4）或（22-1，22）；
∴S梯形A2C1C2A3==6．
∵A3的坐标为：（3，4），即A3C2=4，
∴的A4坐标为：（1+2+4，8），即（7，8）或（23-1，23）；
依此类推，点An的坐标应该为（2n-1-1，2n-1）．
∴S第n（n是正整数）个梯形=．
故答案为6，．