Question

如图，抛物线y=ax²+2ax+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A和点B分别在x轴的正、负半轴上），cot∠OCA=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线l与抛物线交于点E、F（点F在点E的左边），如果四边形OBFE是平行四边形，求点E的坐标．

Answer

（1）由于抛物线y=ax2+2ax+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A和点B分别在x轴的正、负半轴上），cot∠OCA=3．由此可以得C（0，3，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，由于由此可以求出OA，然后求出A的坐标，最后把点A坐标代入解析式即可确定抛物线的解析式；
（2）根据抛物线y=-x2-2x+3可以得到其对称轴是直线x=-1，又A（1，0），由此求出点B（-3，0），又四边形OBFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF=OB，由此可以求出点E的横坐标，然后设点代入解析式中即可求出y，也就求出E的坐标．
【解析】
（1）由题意，得C（0，3）（1分）
在Rt△AOC中，∠AOC=90°，
∵
∴OA=1，
∴A（1，0）（2分）
∵点A在抛物线y=ax2+2ax+3上，
∴a+2a+3=0（1分）
解得a=-1（1分）
∴抛物线的解析式是y=-x2-2x+3（1分）

（2）∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴是直线x=-1（1分）
又A（1，0）
∴点B（-3，0）（1分）
∵四边形OBFE是平行四边形
∴EF=OB=3，
∴点E的横坐标为．（1分）
设点（1分）
∴（1分）
∴点（1分）