Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．
（1）求AC和BC的长；
（2）当EF∥BC时，求BE的长；
（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．

Answer

（1）可设AC=3k，BC=4k，由条件AB=5，，可求出AC和BC的长；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H，容易证得△EHB∽△ACB，设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；根据相似的性质可求出k的值问题得解；
（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H，易得△EHB∽△ACB，设EH=3k，BE=5k，根据相似的性质可求出k的值，在解题时要注意分类讨论．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°
∵，∴设AC=3k，BC=4k，
∴AB=5k=5，∴k=1，
∴AC=3，BC=4；

（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；
∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC
∵∠FDE=∠C=90°
∴△EFD∽△FDC
∴∴FD2=EF•CD，
即9k2+4=2（4-4k）
化简，得9k2+8k-4=0
解得（负值舍去），
∴；

（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．
易得△EHB∽△ACB
设EH=3k，BE=5k
∵∠HED+∠HDE=90°∠FDC+∠HDE=90°
∴∠HED=∠FDC
∵∠EHD=∠C=90°
∴△EHD∽△DCF
∴，
当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：1°，
∴，
即解得，
∴（3分）2°，
∴，
即解得，
∴．
综合1°、2°，当△DEF和△ABC相似时，BE的长为或．