Question

在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点．当n=1时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分；当n=2时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分；则：当n=3时，三条直线将一个平面分成______部分；当n=4时，四条直线将一个平面分成______部分；若n条直线将一个平面分成a_n个部分，n+1条直线将一个平面分成a_n+1个部分．试探索a_n、a_n+1、n之间的关系．

Answer

一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分．
【解析】
当n=1时，分成2部分，
当n=2时，分成4=2+2部分，
当n=3时，分成7=4+3部分，…（2分）
当n=4时，分成11=7+4部分，…（4分）
规律发现，有几条线段，则分成的部分比前一种情况多几部分，
an、an+1、n之间的关系是：an+1=an+（n+1）．…（8分）
故答案为：7，11，an+1=an+（n+1）．