Question

如图：抛物线y=ax²-4ax+m与x 轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，连接BG、CG、求△BCG的面积．

Answer

（1）由抛物线y=ax2-4ax+m的对称轴公式x=-，即可求得其对称轴，又由点A、B关于对称轴对称，即可求得点B的坐标；
（2）由点A（1，0），B（3，0），求得AB的值，又由CP⊥对称轴，可得CP∥AB，易证得四边形ABPC是平行四边形，然后设点C（0，x）（x＜0），证得△BPD∽△BCP，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值，又由二次函数过点A与C，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（3）首先由解析式，即可求得抛物线顶点G坐标，然后设CG的解析式是：y=kx+b，利用待定系数法即可求得CG的解析式，则可求得H的坐标，又由S△BCG=S△BHG+S△BHC，即可求得△BCG的面积．
【解析】
（1）对称轴是x=-=2，…（2分）
∵点A（1，0）且点A、B关于x=2对称，
∴点B（3，0）；…（4分）

（2）点A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵CP⊥对称轴于P，
∴CP∥AB，
∵对称轴是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四边形ABPC是平行四边形，…（5分）
设点C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC=，
∴BP=，
在Rt△BOC中，BC=，
∵，
∴BD=，
∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，…（7分）
∴BP2=BD•BC，
即，
∴，
∴x1=，x2=-，
∵点C在y轴的负半轴上，
∴点C（0，），…（8分）
∴y=ax2-4ax-，
∵过点（1，0），
∴a-4a-=0，
解得：a=-．
∴解析式是：y=-x2+x-；…（9分）

（3）当x=2时，y=，
顶点坐标G是（2，），…（10分）
设CG的解析式是：y=kx+b，
∵过点（0，）（2，），
∴，
∴y=x-，…（11分）
设CG与x轴的交点为H，
令y=0，则x-=0，
得x=，
即H（，0），…（11分）
∴BH=3-=，
∴S△BCG=S△BHG+S△BHC===…（13分）