Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P是边AB的中点，以P为顶点，作∠MPN=∠A，∠MPN的两边分别与边AC交于点M、N．
（1）当△MPN是直角三角形时，求CM的长度；
（2）当∠MPN绕点P转动时，下列式子：（甲）CM•AN，（乙）CN•AM的值是否保持不变？若保持不变，试求出这个不变的值，并证明你的结论；
（3）连接BM，是否存在这样的点M，使得△BMP与△ANP相似？若存在，请求出这时CM的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据已知条件可以确定显然∠MPN≠90°，若∠PMN=90°，根据已知条件可以求出CM=4；若∠PNM=90°，则根据已知条件得到PN=3，CN=4，MN=，然后就可以求出CM；
（2）甲的CM•AN的值不确定，由于CM可以为0，从而CM•AN的值为0；乙的CN•AM的值保持不变，且CN•AM=25，连CP，根据已知条件可以得到△CPN∽△AMP，然后根据相似三角形的性质即可求出CN•AM=25；
（3）由∠MPN=∠A得到∠APN+∠ANP=∠APN+∠BPM，接着得到∠ANP=∠BPM，要使△BMP与△ANP相似，
①若∠MBP=∠A，则BM=AM，又P是AB中点，可以得到MP⊥AB，从而推出△AMP∽△ABC．然后根据相似三角形的性质即可求解；
②若∠BMP=∠A，则∠BMP=∠MPN，可以得到△BMP∽△BAM，同①可以求出BM，从而求出CM．
【解析】
（1）显然∠MPN≠90°，
若∠PMN=90°，则CM=4，（1分）
若∠PNM=90°，则PN=3，CN=4，MN=，
∴CM=；

（2）（甲）CM•AN的值不确定（显然，CM可以为0，从而CM•AN的值为0）；
（乙）CN•AM的值保持不变，且CN•AM=25．（2分）
证明如下：
连CP，由已知：∠ACB=90°，AB=10，
∵点P是AB中点，
∴CP=AP=5．（1分）
∴∠PCA=∠PAC=∠MPN．
∴∠PMA=∠CPN．
∴△CPN∽△AMP．（2分）
∴．
∴CN•AM=25．（1分）

（3）∵∠MPN=∠A，
∴∠APN+∠ANP=∠APN+∠BPM，
∴∠ANP=∠BPM．（1分）
要使△BMP与△ANP相似，
①若∠MBP=∠A，则BM=AM，
又P是AB中点，
∴MP⊥AB，
∴△AMP∽△ABC．
∴AM=，
从而CM=；
②若∠BMP=∠A，
则∠BMP=∠MPN，
∴△BMP∽△BAM．
=，
∴=，
∴BM=．
从而CM=．