Question

如图，已知线段AB与直线CD交于点B．

（1）若点P是CD上离点A最近的点，请你用尺规作出点P和以AP为直径的⊙O（允许用三角尺作垂线；不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若⊙O交AB于点E，F是PB的中点，试利用你作出的图证明EF与⊙O相切．

Answer

（1）先得出点P，过点A作直线CD的垂线，垂足为P，再作出线段AP的垂直平分线，找出AP的中点O，然后以O为圆心，OA长为半径画圆即可；
（2）连接OE，PE，由OE=OP，则∠OPE=∠OEP，由圆周角定理，得∠PEB=90°再根据F为PB的中点，可得出EF=PF=BF，∠EPF=PEF从而得出∠OEF=90°，即EF是⊙O的切线．
【解析】
（1）如图

（2）连接OE，PE
∵OE=OP，
∴∠OPE=∠OEP，
∵AP为直径，
∴∠AEP=90°，
∴∠PEB=90°，
∵F为PB的中点，
∴EF=PF=BF，
∴∠EPF=∠PEF，
∵∠OPE+∠EPF=90°，
∴∠OEP+∠PEF=90°，
∴∠OEF=90°，
∴EF是⊙O的切线．