Question

如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在BD的延长线上，BA•BD=BC•BE．
（1）求证：AE=AD；
（2）如果点F在BD上，CF=CD，求证：BD²=BE•BF．

Answer

（1）先把乘积式转化为比例式，再根据BD平分∠ABC得∠ABE=∠CBD，然后证明△ABE与△CBD相似，根据相似三角形对应角相等可得∠AEB=∠CDB，然后得到∠ADE=∠AED，再利用等角对等边的性质即可证明；
（2）根据CF=CD，利用等边对等角的性质可得∠CDF=∠CFD，再利用等角的补角相等得到∠BDA=∠BFC，然后证明△BDA与△BFC相似，根据相似三角形对应边成比例有=，再与=联立可得=，然后把比例式转化为乘积式即可．
证明：（1）∵BA•BD=BC•BE，
∴=，
又∵∠ABE=∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD；

（2）∵CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD，
∴180°-∠CDF=180°-∠CFD，
即∠BDA=∠BFC，
又∵∠ABE=∠CBD，
∴△BDA∽△BFC，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴BD2=BE•BF．