Question

如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，AC=12，AD∥BC，点E在AC边上，∠DEA=∠B，DE的延长线交BC边于F．
（1）找出图中的相似三角形，并证明；
（2）求DF的长；
（3）设DE=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域．

Answer

（1）根据相似三角形的判定定理：两角对应相等，两三角形相似，可知图中的相似三角形有：△ABC∽△FEC∽△DEA；
（2）作辅助线AG（过点A作AG∥DF，AG与BC相交于点G）构建平行四边形ADFG，由平行四边形的对边相等求得DF=AG=6；
（3）根据相似三角形△ABC∽△FEC的对应边成比例知CF：EF=AC：AB，而BF=BC-CF，所以据此可以列出关于y与x之间的函数解析式，由DE的取值范围来确定该函数的定义域．
【解析】
（1）△ABC∽△FEC∽△DEA．（1分）
证明如下：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠C，（1分）
又∵∠FEC=∠DEA=∠B，
∴△ABC∽△FEC∽△DEA；（1分）

（2）过点A作AG∥DF，AG与BC相交于点G，
∴∠GAC=∠DEA．（1分）
∵∠DEA=∠B，
∴∠GAC=∠B，
∴△GAC∽△ABC，（1分）
∴AG：AB=AC：BC，
∴AG：8=12：16，
∴AG=6．（1分）
∵AD∥BC，AG∥DF，
∴四边形AGFD是平行四边形，
∴DF=AG=6；（1分）

（3）∵DE=x，
∴EF=6-x，
由△ABC∽△FEC，CF：EF=AC：AB，
CF：（6-x）=12：8，（1分）
CF=，BF=BC-CF=16-，（1分）
（0＜x＜6）．（1分）