Question

如图，已知矩形，在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．
（1）求△PEF的边长；
（2）求证：；
（3）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．

Answer

（1）过P作PQ⊥BC于Q，由矩形的性质得PQ=AB=，根据等边△PEF的高为PQ，解直角三角形求边长；
（2）由已知解直角三角形得∠ACB=30°，根据∠PHG=∠CHF=∠PFE-∠ACB=30°，即∠PHG=∠ACB，又可证∠PGH=90°，利用锐角三角函数的定义得出结论；
（3）由30°的直角三角形性质得PH=2PG=2（2-EG）=4-EC=4-（BC-BE）=4-3+BE．
【解析】
（1）过P作PQ⊥BC于Q（1分）
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC，
∴，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PEQ=60°，
在Rt△PEQ中，，（2分）
∴PE=2，
∴△PEF的边长为2． （1分）

（2）在Rt△ABC中，
∵tan∠ACB=，
∴∠ACB=30°（1分）
∵∠PEQ=60°，
∴∠EGC=90°，∠PGH=90°，（1分）
又∵△PEF是等边三角形，
∴∠GEC=∠GPH，
∴cot∠GEC=cot∠GPH，（2分）
∴，（1分）

（3）猜想：PH与BE的数量关系是：PH-BE=1（1分）
证法1：如图，由（2），知∠1=30°
∵△PEF是等边三角形
∴∠PFE=60°，PF=EF=2，
∵∠PFE=∠FHC+∠FCH，
在直角三角形ABC中，
∠EGC=90°，∠EPF=60°，
∴∠FHC=30°（1分）
∴∠FHC=∠FCH，
∴FC=FH（1分）
∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3（2分）
∴PH-BE=1
证法2：由（2），知∠FCH=30°，∠EGC=90°，
∴在Rt△CEG中，，即（2分）
∵在Rt△PGH中，∠7=30°
∴
∴（2分）
∴PH-BE=1
证法3：可证：∠PEF=∠EPF=60°∠EGC=∠PGC=90°，
∴△EGC∽△PGH
∴
∴①（2分）
∵∠ACB=∠ACB，∠B=∠EGC=90°，
∴△CEG∽△CAB，
∴，即，
∴②（2分）
把②代入①得，，
∴PH-BE=1．