Question

抛物线y=ax²+bx+c的图象如图所示，已知该抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，
（1）根据图象所给信息，求出抛物线的解析式；
（2）求直线BC与y轴交点D的坐标；
（3）点P是直线BC上的一点，且△APB与△DOB相似，求点P的坐标．

Answer

（1）根据图象直接得出二次函数的顶点式以及图象经过点（-1，0），即可得出答案；
（2）根据二次函数解析式得出与x轴的交点坐标，进而得出直线解析式，即可得出答案；
（3）分别对当△PAB∽△DOB和当△APB∽△DOB，得出答案即可．
【解析】
（1）设y=a（x-1）2+4（2分）
∵图象经过点（-1，0），
∴4a+4=0，a=-1（1分），
∴y=-x2+2x+3（1分）；

（2）-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1，
∴B（3，0）（1分），
设y=kx+b（k≠0），
，
解得，（1分）
∴y=-2x+6，（1分）
∴D（0，6）．（1分）

（3）设P（k，-2k+6），（k＜3），（1分）
当△PAB∽△DOB，k=-1，
∴-2k+6=2+6=8（1分），
∴P（-1，8），（1分）
当△APB∽△DOB，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F，
∴∠ODB=∠PAB（1分），
∴（1分），
∴，∴（1分），
综上所述，P的坐标是（-1，8）或．