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如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=4,AD=2.点M为边BC...

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=4,AD=2.点M为边BC的中点,以M为顶点作∠EMF=∠B,射线ME交边AB于点E,射线MF交边CD于点F,连接EF.
(1)指出图中所有与△BEM相似的三角形,并加以证明;
(2)设BE=x,CF=y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)如果△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长.

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(1)由已知∠EMF=∠B,利用外角的性质证明∠CMF=∠BEM,由等腰三角形的性质,得∠B=∠C,证明△BME∽△CFM;再利用相似比及∠EMF=∠B,证明△BME∽△MEF; (2)根据△CMF∽△BEM得,然后代入关于x和y的关系式,由(3)可求出BE的最小值,再根据AB=4即可求出BE的最大长度为4. (3)当△BME是以BM为腰的等腰三角形时,①若BE=BM=2,同理CM=CF=2,可知E、F分别是AB、DC的中点,由梯形中位线定理求解,②若BM=ME=2,过M作MH⊥BE于H,过A作AG⊥BC于G,利用相似比求解. 【解析】 (1)△CMF∽△BEM,△MEF∽△BEM, 证明如下: 在梯形ABCD中, ∵AD∥BC,AB=CD,∴∠B=∠C, 又∵∠EMF+∠FMC=∠B+∠BEM,∠EMF=∠B, ∴∠FMC=∠BEM, ∴△CMF∽△BEM, ∴, 又∵CM=BM, ∵∠EMF=∠B,∴△MEF∽△BEM, (2)∵△CMF∽△BEM,∴, ∵BM=CM=2,∴, ∴所求函数的解析式为,定义域为1≤x≤4, (3)(i)当BM=BE=2时, 由△BEM∽△CMF,得CF=MC=2, 而AB=CD=4,∴AE=BE=CF=DF=2, ∴EF为梯形的中位线, ∴EF=, (ii)当BM=EM=2时,作EG⊥BC,垂足为G, 设BE=x,由题意,得BG=,GM=, ∵BE2-BG2=EM2-GM2, 即, ∴x=1或x=0(不符合题意,舍去), ∴BE=1, 由△BEM∽△MEF,得,即, ∴EF=4, 综上所述,△BEM是以BM为腰的等腰三角形时,EF的长为3或4.
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试题属性
  • 题型:解答题
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