Question

如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S₁，在l左上方部分的面积为S₂，记S为S₁、S₂的差（S≥0）．
（1）求∠OAB的大小；
（2）当M、N重合时，求l的解析式；
（3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S=0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；
（4）求S与b的函数关系式．

Answer

（1）过点B过BE⊥x轴，垂足为E．求出点E的坐标，求出等腰直角三角形ABE即可；
（2）把A（8，0）C（0，4）点代入y=x+b求出即可；
（3）求出梯形的面积，过点N作x轴的垂线NH，得到NH=AH=MH，设NH=a，代入面积公式求出a，代入解析式求出b即可；
（4）分为三种情况：①当0≤b≤4时，②当4-8≤b＜0时，③③-8＜a＜-8+4时，设直线AB的解析式是y=cx+d，把A（8，0），B（4，4）代入求出解析式，解两直线组成的方程组，求出交点坐标，根据梯形和三角形的面积求出S即可．
【解析】
（1）过点B过BE⊥x轴，垂足为E．点E（4，0），
∴BE=4，AE=4，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
答：∠OAB=45°．

（2）当点M、N重合时，
∵S≥0，
∴应重合到点C（0，4），
∵把C（0，4）代入y=x+b得：b=4，
∴直线l的解析式y=x+4．

（3）四边形OABC的面积为×4（4+8）=24，
直线l：y=x+b与x轴的交角为45°，△AMN为等腰直角三角形．
当S=0时，△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半，即12．
过点N作x轴的垂线NH，
则NH=AH=MH，
设NH=a，
×2a×a=12，
解得：a=2，
∴OH=8-2，
∴点N的坐标为（8-2，2），
代入y=x+b得：b=4-8．
答：当b≤0时，线段AB上存在点N使得S=0，b的值是4-8．

（4）分为三种情况：①如图在N1、M1时，当4-8≤b＜0时，
OM=-b，AM=8-（-b）=8+b，
设直线AB的解析式是y=cx+d，
把A（8，0），B（4，4）代入得：，
解得：，
y=-x+8，
解方程组得：，
S1=AM×NH=×2××=b2+4b+16；
S2=24-S1，
S=S1-S2=b2+4b+16-[24-（b2+4b+16）]=b2+8b+8，
②当0≤b≤4时，如图在N2、M2点时，OM=b，CM=4-b，
S2=（4-b）2，S1=24-S2，
S=S1-S2=-b2+8b+8，
③-8＜a＜-8+4时，如图，在N3、M3时，S1=×2××=b2+4b+16；
S2=24-S1，
S=S2-S1=[24-（b2+4b+16）]-（b2+4b+16）=-b2+8b+8，