Question

12月22日是我国农历节气中的冬至日，这天太阳光与地面夹角的度数最小，因此建筑物的影子就最长．某地这天的某一时刻太阳光与水平面的夹角α的度数是37°，该地一小区内甲乙两幢楼之间的间距BD=40米，甲楼的楼顶A在乙楼上的投影E的高度ED为5米．
（1）求甲楼的高度；
（2）若要使得这一时刻甲楼的楼顶A的投影恰好在乙楼的楼底处，那么在设计时这两幢楼的间距一定要达到多少米？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，cot37°≈1.33）

Answer

（1）过点E作EH⊥AB，垂足为点H，可以得到AB⊥BD，CD⊥BD，根据∠AEH=α=37°，得到BD=EH=40米，ED=BH=5米．最后在Rt△AHF中求得AB=AH+BH=35米；
（2）延长AE，交直线BD于点F，在Rt△ABF中利用∠AFB=α=37°的余切值求得BF的长即可．
【解析】
（1）过点E作EH⊥AB，垂足为点H，
由题意，得AB⊥BD，CD⊥BD，
∠AEH=α=37°，BD=EH=40米，ED=BH=5米．（1分）
在Rt△AHE中，∠AHE=90°，
tan∠AEH=，AH=EHtan∠AEH=30米，（3分）
AB=AH+BH=35米．（1分）
答：甲楼的高度是35米．（1分）

（2）延长AE，交直线BD于点F．（1分）
在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠AFB=α=37°，（1分）
cot∠AFB=，BF=ABcot∠AFB=46.55米．（3分）
答：在设计时这两幢楼的间距一定要达到46.55米．（1分）