Question

如图，正比例函数与二次函数y=-x²+2x+c的图象都经过点A（2，m）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象顶点P的坐标和对称轴；
（3）若二次函数图象的对称轴与正比例函数的图象相交于点B，与x轴相交于点C，点Q是x轴的正半轴上的一点，如果△OBC与△OAQ相似，求点Q的坐标．

Answer

（1）先求得m，再将点A的坐标代入二次函数y=-x2+2x+c，即可得出c，
（2）根据二次函数对称轴和顶点坐标的求法即可得出答案；
（3）设Q（x，o）（x＞0）．当x=1时求出点B、C的坐标，再由△OBC∽△OAQ和△OBC∽△OQA时，分别求得点Q的坐标即可．
【解析】
（1）∵正比例函数与二次函数y=-x2+2x+c的图象都经过点A（2，m）
∴（1分）
∴A（2，3），3=-4+4+c
∴c=3（1分）
∴这个二次函数的解析式是y=-x2+2x+3（1分）

（2）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4（1分）
∴这个二次函数图象顶点P的坐标是（1，4），对称轴是x=1；（2分）

（3）设Q（x，o）（x＞0）．当x=1时，，
∴（1分）
当△OBC∽△OAQ时，有，得OQ=2，Q（2，0）（2分）
当△OBC∽△OQA，有，得（2分）
∴点Q的坐标是．（1分）