Question

将一张矩形纸片（如图a）沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图b），其中∠ACB=α，然后将这两张三角形纸片按如图c所示的位置摆放，△EFD纸片的直角顶点D落在△ACB纸片的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上．
（1）若ED与BC相交于点G，取AG的中点M，连接MB、MD，当△EFD纸片沿CA方向平移时（如图c），请你观察MB、MD的长度，猜想并写出MB与MD的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）在（1）的条件下，求出∠BMD的大小（用含α的代数式表示），并说明当α=45°时，△BMD是什么三角形？

Answer

（1）根据直角三角形斜边上 中线性质推出MB=AG，MD=AG即可；
（2）根据三角形外角性质求出∠BMG=2∠BAM，∠DMG=2∠DAM，推出∠BMD=2∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAC即可．
【解析】
（1）MB=MD，
证明：∵AG的中点为M，
∴在Rt△ABG中，，
在Rt△ADG中，，
∴MB=MD．

（2）∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM，
同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM，
∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC，
而∠BAC=90°-α，
∴∠BMD=180°-2α，
∴当α=45°时，∠BMD=90°，此时△BMD为等腰直角三角形．