Question

如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动．
（1）当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；
（2）当直线CD与⊙O相切时，求CD所在直线对应的函数关系式；
（3）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值．

Answer

（1）易得∠ODC=90°，且CD与圆相交于点D，故直线CD与⊙O相切；
（2）分两种情况，1、D1点在第二象限时，2、D2点在第四象限时，再根据相似三角形的性质，可得比例关系式，代入数据可得CD所在直线对应的函数关系；
（3）设D（x，y），有S=BD2=（26-10x）=13-5x；再根据x的范围可得面积的最大最小值．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD⊥CD，
∵A、O、D在同一条直线上，
∴∠ODC=90°，
∴直线CD与⊙O相切．

（2）【解析】
直线CD与⊙O相切分两种情况：
①如图1，设D1点在第二象限时，
过D1作D1E1⊥x轴于点E1，设此时的正方形的边长为a，
∴（a-1）2+a2=52，
∴a=4或a=-3（舍去），
∵Rt△BOA∽Rt△D1OE1
∴，
∴，
∴．
∴直线OD的函数关系式为．
∵AD1⊥CD1，
∴设直线CD1的解析式为y=x+b，
把D1（-，）代入解析式得b=；
∴函数解析式为y=x+．
②如图2，设D2点在第四象限时，过D2作D2E2⊥x轴于点E2，
设此时的正方形的边长为b，则（b+1）2+b2=52，
解得b=3或b=-4（舍去）．
∵Rt△BOA∽Rt△D2OE2，
∴，
∴，
∴，
∴直线OD的函数关系式为．
∵AD2⊥CD2，
∴设直线CD2的解析式为y=x+b，
把D2（，-）代入解析式得b=-；
∴函数解析式为y=x-．

（3）【解析】
设D（x，y），
∴，
∵B（5，0），
∴，
∴S=BD2=（26-10x）=13-5x，
∵-1≤x≤1，
∴S最大值=13+5=18，S最小值=13-5=8．