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如图,在直角坐标系中有一个半径为r的圆A,圆心A在x轴的正半轴上,从坐标原点O向...

如图,在直角坐标系中有一个半径为r的圆A,圆心A在x轴的正半轴上,从坐标原点O向圆A作切线,切点是B.
(1)如果manfen5.com 满分网,OA与半径r的差是3,求圆A的半径r,点A的坐标及∠AOB的正弦值;
(2)设∠AOB=α,在图中确定一个与2α大小相等的角(可以添加辅助线),并说明理由;
(3)在(2)的基础上,试探究sin2α与2sinα是否相等.如果相等,请说明理由;如果不相等,请你找出它们之间正确的关系式.

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(1)根据题意设出圆的半径为r,根据切线的性质,勾股定理即可推出r的长度,即可推出A点的坐标, (2)作辅助线,取OA的中点D,过点D作OA的垂线,交OB于点C,连接AC,则OC=AC,推出∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α, (3)根据(1)和(2)推出的结论,即得:,,,然后根据△ABO∽△CDO,推出,由,推出sin2α==2cosα•sinα. 【解析】 (1)AB=r,,OA=r+3, ∵OB与圆A相切, ∴AB⊥BO, ∴∠ABO=90°, 在Rt△OAB中,OA2=AB2+OB2, ∴, ∴r=3, ∴A(6,0), ∴, (2)如图,取OA的中点D,过点D作OA的垂线,交OB于点C,连接AC, ∵DC是OA的垂直平分线, ∴OC=AC, ∴∠COA=∠CAO=α, ∴∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α. (3)由(1)可知∠B=90°, ∴在Rt△ABO中,, 由(2)可知DC⊥OA, ∴∠CDO=90°在Rt△ABC中, 在Rt△ABO和Rt△CDO中,∠O=∠O,∠CDO=∠B, ∴△ABO∽△CDO, ∴, ∴, ∵,且OC=AC, ∴, ∴=2cosα•sinα.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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