Question

如图，已知抛物线y=-x²+x+4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

Answer

（1）抛物线的解析式中，令x=0可求出B点的坐标，令y=0可求出A点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）可分别求出当点P、点Q在直线AB上时x的值，即可得到所求的x的取值范围；
（3）此题首先要计算出一个关键点：即直线AB过E、F时x的值（由于直线AB与直线OP垂直，所以直线AB同时经过E、F），此时点E的坐标为（x，），代入直线AB的解析式即可得到x=；
①当2≤x＜时，直线AB与PE、PF相交，设交点为C、D；那么重合部分的面积为正方形QEPF和等腰Rt△PDC的面积差，由此可得到关于S、x的函数关系式，进而可根据函数的性质及自变量的取值范围求出S的最大值及对应的x的值；
②当≤x≤4时，直线AB与QE、QF相交，设交点为M、N；此时重合部分的面积为等腰Rt△QMN的面积，可参照①的方法求出此时S的最大值及对应的x的值；
综合上述两种情况，即可比较得出S的最大值及对应的x的值．
【解析】
（1）令y=0，
得-x2+x+4=0，即x2-2x-8=0；
解得x=-2，x=4；
所以A（4，0）；
令x=0，得y=4，
所以B（0，4）；
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则有：，
解得，故此直线的解析式为：y=-x+4；

（2）当P（x，y）在直线AB上时，x=-x+4，解得x=2；
当Q（，）在直线AB上时，=-+4，解得x=4；
所以正方形PEQF与直线AB有公共点，且2≤x≤4；

（3）当点E（x，）在直线AB上时，
（此时点F也在直线AB上）=-x+4，解得x=；
①当2≤x＜时，直线AB分别与PE、PF有交点，
设交点分别为C、D；
此时PC=x-（-x+4）=2x-4，又PD=PC，
所以S△PCD=PC2=2（x-2）2；
S=S正方形PEQF-S△PCD=QE2-S△PCD=（x-）2-S△PCD
从而S=x2-2（x-2）2=-x2+8x-8=-（x-）2+；
因为2≤＜，
所以当x=时，Smax=；
②当≤x≤4时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N；
此时QN=（-+4）-=-x+4，又QM=QN，
所以S△QMN=QN2=（x-4）2，
即S=（x-4）2；
当x=时，Smax=；
综合①②得：当x=时，Smax=．