Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于一点E，连接DE并延长，与BC的延长线交于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若AD=2，CF=，求⊙O的面积．

Answer

（1）连接OE，由AC是⊙O的切线，得OE⊥AC，再根据题意得OE∥BF，则∠OED=∠F，OD=OE，从而得出∠F=∠BDF，即BD=NF；
（2）设⊙O的半径为r，由OE∥BF，可证明△AOE∽△ABC，则，即可求得r，进而得出⊙O的面积．
（1）证明：连接OE，∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC
又∵∠ACB=90°，
∴OE∥BF，
∴∠OED=∠F，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠BDF，
∴∠F=∠BDF，
 即BD=BF；             （4分）

（2）【解析】
设⊙O的半径为r，
∵OE∥BF，
∴△AOE∽△ABC，
∴，，
解得r=，
∴S⊙O=．（4分）