Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BC=11cm，∠B的余切值为．P、Q两点同时从点B出发，沿着B→A→D→C→B方向匀速运动，点P的速度为每秒2cm，点Q的速度为每秒3cm，点P的运动时间为t秒，当点Q回到点B时，点P也随即停止运动．
（1）求：AB的长．
（2）当线段PQ与梯形的对角线平行时，求：点P的运动时间．
（3）试探究：在点P的运动过程中，能否使直线PQ⊥直线AD？如果能，请求出点P的运动时间；如果不能，请说明理由．

Answer

（1）首先作AH⊥BC，作DG⊥BC，由∠B的余切值为，即可设AH=4x，则BH=3x，由勾股定理即可求得AB的值，然后由BC=11cm，可得方程3x+5x+3x=11，则可求得AB的长；
（2）分别从当点P在边AB上，点Q在边AD上，PQ∥BD时；当点P在边AD上，点Q在边DC上，PQ∥AC时；当点P在边DC上，点Q在边BC上，PQ∥BD时去分析，根据平行线分线段成比例定理，即可求得点P的运动时间；
（3）当点P在边CD上、点Q在边BC上时，PQ与AD能互相垂直，即可得，解此方程即可求得答案．
【解析】
（1）作AH⊥BC，垂足为点H，作DG⊥BC，垂足为点G．
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
∴GH=AD，
∵∠B的余切值为，
∴设AH=4xcm，则BH=3xcm．（1分）
∴AB=5x．（1分）
根据题意，得3x+5x+3x=11．（1分）
解得x=1．（1分）
∴AB=5．（1分）

（2）（i）当点P在边AB上，点Q在边AD上，PQ∥BD时，
得2t=10-3t．（1分）
解得t=2．（1分）
（ii）当点P在边AD上，点Q在边DC上，PQ∥AC时，
得2t-5=15-3t．（1分）
解得t=4．（1分）
（iii）当点P在边DC上，点Q在边BC上，PQ∥BD时，
得，即．（1分）
解得．（1分）
综上所述，当线段PQ与梯形的对角线平行时，点P运动的时间为2秒，4秒，秒．

（3）能．（1分）
当点P在边CD上、点Q在边BC上时，PQ与AD能互相垂直．
此时．（1分）
解得，
即当点P的运动时间为秒时，PQ⊥AD．（1分）