Question

关于x的一元二次方程x²-x+p-1=0有两实数根x₁，x₂，
（1）求p的取值范围；
（2）若[2+x₁（1-x₁）][2+x₂（1-x₂）]=9，求p的值．

Answer

（1）一元二次方程有实根，△≥0，根据判别式的公式代入可求p的取值范围；
（2）将等式变形，结合四个等式：x1+x2=1，x1•x2=p-1，x12-x1+p-1=0，x22-x2+p-1=0，代入求p，结果要根据p的取值范围进行检验．
【解析】
（1）由题意得：
△=（-1）2-4（p-1）≥0
解得，p≤；
（2）由[2+x1（1-x1）][2+x2（1-x2）]=9得，
（2+x1-x12）（2+x2-x22）=9
∵x1，x2是方程x2-x+p-1=0的两实数根，
∴x12-x1+p-1=0，x22-x2+p-1=0，
∴x1-x12=p-1，x2-x22=p-1
∴（2+p-1）（2+p-1）=9，即（p+1）2=9
∴p=2或p=-4，
∵p≤，∴所求p的值为-4．