Question

如图，∠ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．
（1）求证：BF=FD；
（2）∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；
（3）∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG=DA，并说明理由．

Answer

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=BC．从而得到∠CBE=∠CEB，再根据等角的余角相等证明∠FBE=∠FEB，得到BF=EF．根据等角的余角相等以及等角对等边再进一步证明EF=DF，最后得到BF=DF；
（2）根据中位线定理得到AE∥CF．要保证是梯形，必须是另一组对边不平行．首先探索另一组对边平行时∠A的度数，从而得到是梯形时的取值范围；
（3）从若要满足的结论出发，结合上述结论进行分析，先探求∠D的取值范围，再进一步得到∠A的取值范围．
（1）证明：在Rt△AEB中，
∵AC=BC，
∴CE=AB，
∴CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE．
∵∠CEF=∠CBF=90°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF．
∵∠BEF+∠FED=90°，∠EBD+∠EDB=90°，
∴∠FED=∠EDF．
∴BF=FD；

（2）【解析】
由（1）BF=FD，而BC=CA，
∴CF∥AD，即AE∥CF．
若AC∥EF，则AC=EF，
∴BC=BF．∴BA=BD，∠A=45°．
∴0°＜∠A＜90°且∠A≠45°时，四边形ACFE为梯形；

（3）【解析】
作GH⊥BD，垂足为H，则GH∥AB．
∵DG=DA，
∴DH=DB．
又F为BD中点，
∴H为DF的中点．
∴GH为DF的中垂线．
∴∠GDF=∠GFD．
∵点G在ED上，
∴∠EFD≥∠GFD．
∵∠EFD+∠FDE+∠DEF=180°，
∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180度．
∴3∠EDF≤180度．
∴∠EDF≤60度．
又∠A+∠EDF=90°，
∴30°≤∠A＜90°．
∴当30°≤∠A＜90°时，
DE上存在点G，满足条件DG=DA．