Question

如图所示，在平面直角坐标系中，现将直角△ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且∠ACB=90°，BC=，点A（0，2），点C（-1，0）．抛物线经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的直角三角形且与△ABC相似？若存在，求所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）要求点B的坐标，就过点B作垂线．利用三角形相似和勾股定理可以求出．
（2）利用待定系数法把点B的坐标代入解析式求出a值，从而求出抛物线的解析式．
（3）要求是否有满足条件的点，假设存在看需要的条件，本题在x=0时，y=2．抛物线经过点A，只要证明△ABP为直角三角形就可，利用一次函数与抛物线的交点就可以求出点P．
【解析】
（1）过点B作BD⊥OC于D，
∴∠BDC=90°
∵∠ACB=90°
∴∠BCD+∠ACO=90°
∵∠ACO+∠1=90°
∴∠BCD=∠1
∠BDC=∠AOC=90°
∴△BDC∽△COA
∴
在Rt△AOC中，OA=2，OC=1，由勾股定理，得
AC=
∵BC=
∴BD=，DC=1
∴B（-2，）；

（2）由题意得

解得a=
∴抛物线的解析式为：y=-

（3）存在点P，使△PAC∽△ABC．
∵AC⊥BP，∴B、C、P在同一直线上，设BC的解析式为：y=kx+b由题意得

解得：
直线BC的解析式为：y=
∴直线BC与抛物线的另一交点坐标为P（3，-2）
利用两点间的距离公式求得：

由勾股定理得：
∴AB2+AP2=BP2
∴△ABP为直角三角形
∵AC⊥BP
∴△ABC∽△PAC
∴P（3，-2）．
②作AE⊥AC于A交x轴于E，
∴△AOC∽△EOA，
∴，
∴，
∴OE=4，
∴E（4，0）．
设AE的解析式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：，
∴直线AE的解析式为：y=-x+2；
，
解得：
，；
∴P（0，2）（舍去），P（1，）
∴P（3，-2）或（1，）．